前面建立的UMpHMP模型是NP-hard問題,，目前沒有有效的算法,。為了減少計算時間,，Ernst和Krishnamoorthy(1998a,，1998b)為樞紐網(wǎng)絡(luò)建立了三下標的 數(shù)學(xué)模型,，大大減少了變量和約束的個數(shù),，提高了求解的效率,。 這個模型不采用流量的比例作為流變量,，而直接用流量為流變量，并對匯運,、 轉(zhuǎn)運和分運分別設(shè)置不同的變量,。

     令Z4為OD流的匯運流變量，即從始發(fā)地機 場i到樞紐機場k的流量,，Ya是從輪輻機場i運出的轉(zhuǎn)運流量,，X是O-D對(i，j) 從樞紐機場l分運到目的地j的流量,，再令O是從始發(fā)地機場i運出的總流量,， N={1,2,…，n}是機場集合,，則三下標樞紐網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型如下,； minC[2xCaZx+22aCuYu+22oC,x, O.表示起始于機場i的流量，因此二W,，=0,；式（3-15)表示共有p個樞 紐；式（3-16）~式（3-18）是流量平衡方程,，保證所有的O-D流全部由起始機場到目的地機場,，其中式（3-16）表示從始發(fā)機場i出發(fā)，經(jīng)過分配連接到各樞紐機場 的匯運流量之和必須等于O,，式（3-17）表示O-D對（i,，j）經(jīng)過各樞組機場l中轉(zhuǎn) 后分運到目的地機場j的流量之和必須等于W，,，式（3-18）表示從始發(fā)地機場i運 出的流量,，在樞紐機場k中轉(zhuǎn)的運進流量必須等于運出流量；式（3-19）表示從始發(fā) 機場i出發(fā),，經(jīng)航節(jié)i→k匯運時,，k一定是樞紐城市，式（3-20）表示如果O-D對(i,、 j)經(jīng)過機場l中轉(zhuǎn)分運到目的地機場j,，l一定是樞紐；式（3-21）表示流變量是非 負變量,，式（3-22）要求y,；是0-1型變量。 這個模型盡管采用了三下標變量,，但任一O-D對仍然至多經(jīng)過匯運,、轉(zhuǎn)運和 分運等三個航節(jié)完成運輸任務(wù)，因此最多兩次中轉(zhuǎn),。

     變量數(shù)從四下標的O（n1)個 減少為O（n3)個,。如果n=100,，那么流變量數(shù)從1億個減少到100萬個。約束條 件數(shù)從四下標模型的（2n3+n2+1）減少到三下標模型的(n3+3n2+n+1),，當n= 100時,，四下標模型大約有201萬個，三下標模型大約有103萬個,?？梢姡聵? 模型的規(guī)模確實下降不少,。 例3-4在例3-3同樣的條件下,，采用三下標模型對樞紐航線網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化 設(shè)計。構(gòu)建三下標模型如下： 同樣應(yīng)用ILOG/CPLEX求解上述模型,，得到的結(jié)果為：y2=y,；=1，即以北京 和廣州作為樞紐,；最優(yōu)的總成本是950364元,，這與四下標模型得到的結(jié)果相同；流 變量的解如下：Z2=106,，Z2=354,Z2=97,，Za=46，Z46=22,，Z4s=231，Z2=63,， 模型中一共有331個約束條件和474個變量,。與四下標模型比較可以發(fā)現(xiàn)， 無論是約束條件數(shù),、變量數(shù)還是運算時間,，三下標模型都小于四下標模型。當問題 的規(guī)模進一步擴大后,，這一點將會更加明顯,。